Anton Kovalenko

Вчера ввечеру, выпив два бокала красного бурчака в районе математического здания университета и вернувшись на работу, приключилась у меня небольшая когнитивная катастрофа. Открылось мне, что понятие беккеровской ко/контрапроизводной категории присуще не точной DG-категории, а точной DG-паре. Это грозило еще существенно усложнить и без того запутанный клубок теорий, которые я разрабатываю.

Но я не испугался, а сегодня на ночь глядя отправился на прогулку, и выпил стаканчик белого бурчака на Малостранской площади. И мне повезло: вернувшись домой, открылось мне, что такой проблемы, кажется, нет. Понятие беккеровской ко/контрапроизводной категории не зависит от точной DG-пары, а зависит только от ее подлежащей точной DG-категории.

[Здесь я собирался написать простое и короткое утверждение из области теории точных категорий, объясняющее, почему такой проблемы нет. Но сообразил, что утверждение мое неверно. После этого я придумал другое рассуждение, доказывающее все-таки, что проблемы нет. Но это более сложное рассуждение принадлежит уже не к теории точных категорий, а к теории точных DG-категорий; и поля этой записи слишком узки, чтобы воспроизвести его здесь.]

Таким образом, если я в этот раз нигде не ошибся, то у меня теперь есть 1. встающая на, казалось бы, ровном месте неожиданная, пугающая проблема, и 2. счастливое решение, показывающее, что такой проблемы нет. Я был наивен, а стал мудрее. Да здравствует бурчак!

https://www.facebook.com/anton.kovalenko.566/posts/pfbid0eQyxR8LxPUh5hM9c4NDNB6anSDUnftDWo6NMbakd19R32YHiY5584TW91ytQgpa4l

К сожалению, я не специалист и не очень разбираюсь. Но общее впечатление, которое, как мне кажется, разделяют многие современные математики, состоит в том, что канторовская математика интереснее, в связи с чем она и победила.

По моим представлениям, есть много разных разновидностей и трактовок конструктивизма и интуиционизма, они интересны математическим логикам и специалистам по основаниям математики, некоторые матлогики считают ту или иную трактовку конструктивизма "правильной", а математику, основанную на аксимах теории множеств, "неправильной". Но за пределами споров об основаниях современная математика основана на аксиомах теории множеств ZFC (Цермело-Френкеля с аксимой выбора) -- это развитие канторовского подхода.

С точки зрения приверженца аксиоматической теоретико-множественной математики, различные трактовки конструктивизма, интуиционизма, финитизма и т.д. могут интерпретироваться как отметки на шкале иерархии силы аксиоматических систем. У каждой из этих отметок есть свои приверженцы. На одном конце шкалы -- люди, доказывающие теоремы на основе очень сильных "аксиом больших кардиналов" (это намного сильнее ZFC); самая полезная и популярная из таких сильных аксиом известна как "принцип Вопенки". На другом конце шкалы -- представители радикального течения "ультрафинитизма", считающие, что множество натуральных чисел конечно. (На самом деле они считают что-то более сложное, но в общем, они отрицают тезис о бесконечности натурального ряда.)

История про принцип Вопенки -- показательный пример противоречия между приоритетами специалистов по основаниям (матлогике) и остальных математиков. Петр Вопенка -- чешский матлогик, после "бархатной революции" 1989 года одно время работавший министром образования Чехословакии. Он умер в 2015 году в возрасте под 80 лет. Когда я впервые прилетел в Чехию, он был еще жив. Женщина, лично знавшая его, мне тогда о нем рассказывала, что он отрицает актуальную бесконечность как таковую и считает, что нашел противоречие в ZFC.

История с появлением "принципа Вопенки" следующая. Вопенка придумал эту аксиому как practical joke, имея целью разоблачить слепоту математиков того времени (не являвшихся матлогиками). Идея была в том, что это сильная аксиома, которой удобно пользоваться и с ее помощью доказывать теоремы. Замысел Вопенки (как мне рассказывали в Праге) состоял в том, чтобы математики соблазнились и бросились доказывать теоремы, используя "принцип Вопенки". Это должен был быть такой сеанс магии с последующим разоблачением. Разоблачение должно было состоять в том, что Вопенка предъявил бы доказательство противоречивости "принципа Вопенки". Целью всей "практической шутки" была демонстрация того, что убежденность математиков в непротиворечивости стандартной аксиоматики ZFC ничего не стоит -- математики не умеют отличать противоречивые аксиоматические системы оснований математики от непротиворечивых. Бросились доказывать теоремы на основе "принципа Вопенки", а он противоречив.

Маленькая закавыка оказалась в том, что задуманное доказательство противоречивости принципа Вопенки не сработало. Вопенке (в то время) не удалось доказать его противоречивость. Математики с удовольствием доказывают теоремы (в теории категорий и т.д.) на основе принципа Вопенки по сей день. Теперь Вопенка знаменит как автор принципа Вопенки, а другие его идеи, скорее, забыты. На самом деле "принцип Вопенки" строго противоположен убеждениям, которых придерживался Вопенка, но это не имеет теперь никакого значения.

Я рассказал эту длинную историю, чтобы проиллюстрировать общую тенденцию. Специалисты по основаниям математики часто предпочитают слабые теории, находя их более естественными для математики в целом, с одной стороны, и интересными объектами для изучения с точки зрения матлогики, с другой стороны. Вплоть до ультрафинитизма, "слабой арифметики" (очень слабых подсистем арифметики Пеано), и т.д. Математики, занимающиеся алгеброй, алгебраической геометрией, теорией категорий и т.д. (также и анализом) -- обычно предпочитают сильные теории и сильные аксиомы. Последнее означает канторовский подход.

Лично я за Кантора и за принцип Вопенки. Одну теорему (в двух версиях) я доказал на основе принципа Вопенки, и очень этим доволен. Как и многие математики, я считаю, что неконструктивная математика интереснее конструктивной.

***

> А можно ли в том же смысле сказать, что аксиома выбора «победила» её отсутствие, или с ней не настолько интереснее, чем без неё?

Про аксиому выбора так можно сказать тоже, но надо правильно понимать, что это значит. Система аксиом называется более сильной, если ей "легче оказаться противоречивой". Принятие арифметики Пеано вместо ее слабых подсистем (которые так любят матлогики), или ZFC вместо арифметики Пеано, или ZFC + плюс принципа Вопенки вместо ZFC -- в некотором смысле увеличивает риск, что аксиоматика окажется противоречивой и все построенное на ней здание рухнет.

Принятие аксиомы выбора не увеличивает такой риск. Если аксиоматика ZF (без аксиомы выбора) непротиворечива, то и ZFC непротиворечива тоже. Это такая теорема. Об этом говорят, что эти две аксиоматики "равнонепротиворечивы", equiconsistent. Принимая аксиому выбора, вы получаете возможность сравнить размеры (мощность) любых двух множеств, существование базиса в любом векторном пространстве и т.д. -- ценой появления резко контринтуитивных, но не грозящих никакими формальными логическими противоречиями результатов типа парадокса Банаха-Тарского и т.д. По-моему, без аксиомы выбора жить очень неудобно (гомологическую алгебру как я ее знаю вообще невозможно себе представить без аксиомы выбора, хотя можно пытаться обходиться слабыми счетными версиями типа dependent choice, но неудобно и непонятно, зачем); а парадокс Банаха-Тарского мне ничем не жмет и даже забавен.

В этом смысле я бы сказал, что выбор в пользу аксиомы выбора (если остальные аксиомы теории множеств ZF уже приняты) -- еще намного бесспорнее, чем выбор в пользу сильных теоретико-множественных оснований математики как таковых.

***

Суммируя: насколько мне известно, конструктивистам не удалось прийти между собой к согласию о том, в чем состоит правильный конструктивизм. Общепринятой канонической версии конструктивистской математики, скорее, не существует. Есть разные точки зрения.

Общепризнанная каноническая версия теоретико-множественной математики называется "ZFC", но реально в ведущих математических журналах можно встретить теоремы, формально доказанные на основе несколько более сильной "аксиомы универсумов" Гротендика, причем факт использования этой аксиомы может даже особенно не подчеркиваться. Использование аксиом, намного более сильных, чем ZFC (измеримых кардиналов, принципа Вопенки) обычно оговаривается. В этом смысле общепризнанная каноническая версия канторовской математики тоже не вполне существует, но горячих разногласий по этому поводу я никогда не наблюдал.

Хотя да, мои заявления о том, что я за принцип Вопенки, некоторые более близкие к матлогике алгебраисты находят спорными, предпочитая ZFC. Но я вообще знаменит своими спорными заявлениями на любые темы. Я говорю так: если вас интересует геометрия и/или теория чисел, то можно считать все множества не более, чем счетными (или что-то к этому приближающееся); а если вас интересует теория множеств и теория категорий, то надо принимать принцип Вопенки.

Работ по конструктивистской математике в математических научных журналах почти не бывает. Границу или разницу между мистикой и математикой я проводить не возьмусь. Я думаю, что подход Кантора победил, потому что использование сильных аксиом упрощает рассуждения, проясняет картину, и позволяет/помогает доказывать интересные теоремы.

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021869325005265

https://www.sciencedirect.com/journal/journal-of-algebra/articles-in-press

https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2025.08.040

Это получается, если так считать, семьдесят первая рецензированная публикация в моей жизни, пятая статья, опубликованная электронно на сайте журнала в 2025 году, и седьмая в этом журнале.

Из пяти архивных препринтов 2024 года, один уже окончательно вышел из печати и два опубликованы электронно на сайтах журналов. Из шестнадцати архивных препринтов декабря 2022 -- января 2024 года, девять уже вышли из печати и три опубликованы электронно на сайтах журналов.